射影変換について

このノートブックでは、射影変換について簡単にまとめます。

射影変換は、ある平面を別の平面に写す変換の一種で、画像処理やコンピュータビジョンの分野で広く使用されます。 たとえば、斜めから撮影した紙やホワイトボードの画像を、正面から見たように補正するときに使われます。

アフィン変換も、拡大・縮小、回転、平行移動、せん断などを表せる重要な変換ですが、射影変換はそれをさらに一般化したものです。 アフィン変換では平行線は平行のまま保たれますが、射影変換では遠近感を扱えるため、平行線が一点に集まるような変形も表現できます。

射影変換のイメージ図

点(\(x, y\))を(\(x', y'\))に射影変換するとき、よく次の形で表されます。

\[ \begin{align*} x' &= \frac{a x + b y + c}{g x + h y + 1} \\ y' &= \frac{d x + e y + f}{g x + h y + 1} \end{align*} \]

ここで、\(a, b, c, d, e, f, g, h\)は変換のパラメータです。 これらの値は、通常、一直線上にない4組の対応点から求めることができます。

この式には分母に\(x\)や\(y\)が含まれるため、通常の2次元座標(\(x, y\))のままでは、単純な行列積だけで表すことができません。 そこで、\((x, y)\)を\((x, y, 1)\)のように1つ成分を増やした同次座標で表すと、変換を行列でまとめて扱えるようになります。

同次座標では、\((X, Y, W)\) と \((\lambda X, \lambda Y, \lambda W)\)（\(\lambda \neq 0\)）は同じ点を表します。 通常の座標は、\(W \neq 0\) のとき

\[x = \frac{X}{W},\; y = \frac{Y}{W}\]

で得られます。

この同次座標を用いると、\((x, y)\) を \((x', y')\) に射影変換するとき、以下のように$\(3 \times 3\)の行列を使って表すことができます。

\[ \lambda \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

ここで、\(\lambda\)はスケールを表す係数です。同次座標では定数倍したベクトルが同じ点を表すため、変換後の点は(\(x', y', 1\))そのものではなく、その定数倍で表されます。

一般的には、真ん中の行列は\(h\)と添字を使用して文字を少なくして表されることが多いです。

\[ \lambda \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

このように、射影変換は、同次座標を用いることで、行列を用いて表すことができます。 この行列をホモグラフィ行列と呼びます。

このように同次座標を導入すると、射影変換を行列の形で統一的に表せます。 その結果、変換の合成や逆変換も線形代数の枠組みで扱いやすくなります。